不完全Riemann-Liouville分数阶微积分的分析发展

分数阶微积分理论多年来已向多个方向发展，包括：提出多种不同的分数阶微分积分定义；将标准微积分的各种性质推广至分数阶情形；将分数阶微分积分应用于各类特殊函数。最近，出现了分数阶微积分的一个新变体，即不完全分数阶微积分。在最近的两篇论文中，已构建了Riemann-Liouville和Caputo分数阶微分积分的不完全版本，并应用于若干重要特殊函数。在当前工作中，我们更深入地发展不完全分数阶微积分理论，研究不完全Riemann-Liouville分数阶微分积分的进一步性质，并回答关于这些算子的一些基本问题。通过考虑适当的函数空间，我们严格给出了不完全Riemann-Liouville分数阶积分的定义，并论证该模型可用于分析比经典分数阶微积分更广泛的函数类。利用解析延拓，我们给出了不完全Riemann-Liouville分数阶微分的定义，从而将不完全积分扩展为完备的分数阶微积分模型。我们还进一步研究和分析这些算子，以证明新的性质。其中包括不完全乘积微分积分的Leibniz法则，以及不完全微分积分与经典微积分运算的复合性质。在任何分数阶微积分新模型中，这些都是自然且预期要研究的问题，而在不完全Riemann-Liouville模型中，结果自然地从先前提出的定义中浮现。