VC维的一种变体及其在深度3电路中的应用

我们引入如下VC维的变体。给定 $S \subseteq \{0, 1\}^n$ 和正整数 $d$，我们定义 $\mathbb{U}_d(S)$ 为最大的子集 $I \subseteq [n]$ 的大小，使得 $S$ 在 $I$ 的每个大小为 $d$ 的子集上的投影都是 $d$ 维立方体。我们证明，确定具有给定 $\mathbb{U}_d$ 维的集合的最大基数等价于一个与 $d$-一致超图中团的总数相关的图兰型问题。这使我们能够针对该维概念击败 Sauer--Shelah 引理。我们利用这一点得到了关于 $\Sigma_3^k$-电路（即顶层门为 OR、底层扇入至多为 $k$ 的深度-$3$ 电路）的若干结果：* 2-CNF 的满足赋值数目与其所接受的最大投影的维数之间的紧关系，从而改进了 Paturi、Saks 和 Zane（Comput. Complex. '00）。* 针对子线性维仿射分散器的改进 $\Sigma_3^3$-电路下界。此外，我们提出一个纯超图理论猜想，在该猜想下我们可得到进一步改进。* 我们在解决内积函数以及一般意义上 $\mathbb{F}_2$ 上所有 2 次多项式的 $\Sigma_3^2$ 复杂度问题上取得进展。确定 IP 的 $\Sigma_3^3$ 复杂度的问题最近由 Golovnev、Kulikov 和 Williams（ITCS'21）提出。