VC 维与 Erd\H{o}s-P\'osa 性质

设 $G=(V,E)$ 为一个图。$G$ 中的 $k$-邻域是指由距离 $G$ 中某顶点距离至多为 $k$ 的所有顶点组成的集合。顶点集为 $V$、边集由 $G$ 的所有 $k$-邻域（对所有 $k$）组成的超图称为 $G$ 的邻域超图。本文的目标是研究图在其邻域意义上的复杂性。确切地说，我们将图 $G$ 的距离 VC 维定义为 $G$ 的所有诱导子图 $G'$ 的邻域超图的 VC 维的最大值。对于一个图类，具有有界距离 VC 维这一性质同时推广了闭包 minor 类和有界团宽图。我们的动机源于 Chepoi、Estellon 和 Vax\`es 的一个结果，该结果断言每个直径为 $2\ell$ 的平面图都可以被有限个半径为 $\ell$ 的球覆盖。事实上，他们证明了存在一个函数 $f$，使得平面图中的任何半径为 $\ell$ 的球族 $\cal F$ 都存在一个大小为 $f(\nu)$ 的击中集，其中 $\nu$ 是 $\cal F$ 中两两不相交元素的最大数量。我们的目标是在仅假设邻域具有有界距离 VC 维的条件下，推广 Chepoi、Estellon 和 Vax\`es 的证明。换言之，具有有界距离 VC 维的图中固定半径的球族具有 Erd\H{o}s-P\'osa 性质。