排除小树图的图的轮廓与邻域复杂度

图 $G$ 的 $r$-邻域复杂度是函数，计数给定整数 $k$ 时，所有大小为 $k$ 的顶点子集 $A$ 中，由某个顶点的 $r$ 邻域与 $A$ 的交集所实现的子集数的上界。该概念的一种细化是 $r$-轮廓复杂度，即计算从任意顶点到 $A$ 中顶点的距离向量的最大数目，忽略大于~$r$ 的距离。通常情况下，在诸如受限 VC 维或色谱图等结构化图类中，这些函数是有界的，这导致对其结构属性和高效算法的洞见。我们改进了 Joret 和 Rambaud 等人现有关于 $r$-轮廓复杂度（以及因此关于 $r$-邻域复杂度）的界限。我们表明，排除 $K_h$ 作为小树图的图的 $r$-轮廓复杂度为 $O_h(r^{3h-3}k)$。对于树宽至多为~$t$ 的图，我们给出 $O_t(r^{t+1}k)$ 的界限，这在~$t$ 的函数因子上与上界相符。这些界限改进了 Joret 和 Rambaud 的结果，并回答了他们论文[Combinatorica, 2024]中的问题。我们还将我们的方法应用于其他受限扩张类，如排除固定完全图作为细分图的图。对于外平面图，我们可将树宽界限提高一个 $r$ 的因子，并推测类似的改进也适用于简单树宽受限的图。对于树长至多为~$\ell$ 的图，我们给出上界 $O(k(r^2(\ell+1)^k))$，在色谱图的情况下我们将其改进为 $O\left (k\cdot (r 2^k + r^2k^2) \right)$，而对于区间图则为 $O(k^2r)$。我们的界限还导致图的秩、直径和度量维数的关系，改进了 [Beaudou 等人, SIDMA 2017] 中的结果。