有界 VC 维超图的最小横截枚举

我们考虑枚举超图 $\mathcal{H}$ 的所有最小横截（也称为最小击中集）的问题。该问题的一个等价表述被称为 \emph{横截超图} 问题（或 \emph{超图对偶化} 问题），即给定两个超图，判定其中一个是否对应于另一个的最小横截集合。是否存在解决该问题的多项式时间算法是一个长期悬而未决的问题。在 \cite{fredman_complexity_1996} 中，作者提出了首个解决横截超图问题的次指数算法，该算法在拟多项式时间内运行，使得该问题不太可能是（co）NP 完全的。在本文中，我们证明了当两个超图之一具有有界 VC 维时，横截超图问题可以在多项式时间内解决，或者等价地，如果 $\mathcal{H}$ 是具有有界 VC 维的超图，则存在增量多项式时间算法来枚举其最小横截。这一结果推广了文献中大多数已知的多项式情况，因为它们几乎都考虑了具有有界 VC 维的超图类。作为推论，对于任何在部分子超图下封闭的超图类，超图横截问题均可在多项式时间内求解。我们还证明了所提出的算法在一般超图中以拟多项式时间运行，并且如果超图的一致性有界，则其以多项式时间运行，这是少数几个 VC 维无界的已知多项式情况之一。