关于极小支配集及相关概念的枚举

图中的一个支配集 $D$ 是其顶点集的一个子集，使得每个顶点要么在 $D$ 中，要么在 $D$ 中有一个邻居。本文关注图中（包含关系意义下的）极小支配集的枚举问题，称为 Dom-Enum 问题。众所周知，该问题可以多项式归约为超图中的 Trans-Enum 问题，即枚举超图中所有极小横截的问题。首先，我们证明 Trans-Enum 问题也可以多项式归约为 Dom-Enum 问题。因此，Trans-Enum 问题存在输出多项式时间算法当且仅当 Dom-Enum 问题存在此类算法。其次，我们研究了某些图类中的 Dom-Enum 问题。我们给出了分裂图（split graphs）中 Dom-Enum 问题的输出多项式时间算法，并引入了图的补全（completion）概念，从而获得了 $P_6$-free 弦图（chordal graphs，分裂图的一个真超类）中 Dom-Enum 问题的输出多项式时间算法。最后，我们研究了图中（包含关系意义下的）极小连通支配集和极小全支配集枚举问题的复杂性。我们证明，Dom-Enum 问题（或等价地 Trans-Enum 问题）存在输出多项式时间算法，当且仅当以下枚举问题存在此类算法：极小全支配集、分裂图中的极小全支配集、分裂图中的极小连通支配集、共二部图（co-bipartite graphs）中的极小支配集。