二维及更高维中的奇异拟对称映射

对所有 $n \geq 2$，我们构造一个度量空间 $(X,d)$ 和一个拟对称映射 $f\colon [0,1]^n \rightarrow X$，使得 $f^{-1}$ 关于 $X$ 上的 Hausdorff $n$-测度不是绝对连续的。即，存在 Borel 集 $E \subset [0,1]^n$ 满足 Lebesgue 测度 $|E|>0$，而 $f(E)$ 的 Hausdorff $n$-测度为零。该构造可实现为 $X$ 具有有限 Hausdorff $n$-测度且 $|E|$ 任意接近 1，或者 $|E| = 1$。这给出了 Heinonen 与 Semmes 提出的一个问题的否定回答。