拟双曲度量空间中的距离几何 (III)

设 $(X, d)$ 是一个紧度量空间，$\mathcal{M}(X)$ 表示 $X$ 上所有有限符号Borel测度的空间。定义 $I \colon \mathcal{M}(X) \to \R$ 为 $$I(\mu) = \int_X \int_X d(x,y) d\mu(x) d\mu(y),$$ 并设 $M(X) = \sup I(\mu)$，其中 $\mu$ 取遍 $\mathcal{M}(X)$ 中总质量为1的符号测度。本文与之前的两篇论文 [Peter Nickolas and Reinhard Wolf, Distance geometry in quasihypermetric spaces. I and II] 一起，研究了几何常数 $M(X)$ 及其与 $X$ 的度量性质以及 $\mathcal{M}(X)$ 的某个子空间在赋予自然半内积时的泛函分析性质之间的关系。具体来说，本文探讨了 $M(X)$ 的性质与 $X$ 的度量嵌入之间的联系，以及当 $X$ 是有限度量空间时 $M(X)$ 的性质。