度规测度空间与测地线积分

我们提出一种对长度空间带布尔测度的度规定义，涉及测地线集合的积分。该数量在使用其上的计数测度时，与有限度规空间的度规一致，需通过对度规进行重新缩放以确保收敛。我们还证明了齐次度规定理的一个版本，表明当使用其上的权重测度作用于紧致齐次黎曼流形时，新定义与体积一致。我们计算了各种示例，表明该数量可以捕获测地线非唯一性的信息，例如注入半径，对应于度规同调的生成次数。