易处理度量空间与幅度连续性

幅度是 Leinster 引入的度量空间的等距不变量。自其诞生以来，它激发了关于其与积分几何、几何测度论、分形维数、持久同调以及机器学习应用之间联系的活跃研究。特别是在应用方面，不变量的连续性和稳定性起着重要作用。尽管已经证明幅度在有限度量空间的 Gromov-Hausdorff 空间上处处不连续，但如果限制环境空间，则可能得到正面结果。在本文中，我们引入了易处理度量空间的概念，对这些空间进行了刻画，并在此背景下建立了关于幅度的几个连续性结果。作为推论，我们提供了一个已知结果的新证明，即幅度在 $\mathbb{R}$ 的紧子集空间上关于 Hausdorff 度量是连续的。此外，我们证明了当限制在 $\mathbb{R}$ 的有界子空间上时，幅度函数是 Lipschitz 的。