有限度量空间的范数是否'普遍连续'？
度量几何
2025-01-28 v2 计算几何
一般拓扑
机器学习
摘要
范数是度量空间的一个实值不变量，在有限情形下，可将其理解为随度量规模变化而记录空间中'有效点数'。针对拓扑数据分析中的应用需求，本文考察范数的稳定性：其关于 Gromov-Hausdorff 拓扑的连续性质。我们证明范数在 Gromov-Hausdorff 空间中有限度量空间上无处连续。然而，我们发现其可能'普遍连续'，即常规 Gromov-Hausdorff 极限由范数保持。我们主张，实际上'普遍稳定性'才是其适用性的关键。
引用
@article{arxiv.2501.08745,
title = {Is magnitude 'generically continuous' for finite metric spaces?},
author = {Hirokazu Katsumasa and Emily Roff and Masahiko Yoshinaga},
journal= {arXiv preprint arXiv:2501.08745},
year = {2025}
}
备注
18 pages, 3 figures. v2: Corrected a minor error in the Introduction; strengthened Conjecture 1.3 and added references to the discussion before it; added Remark 3.7