带标签数据集的持续同调：Gromov-Hausdorff 稳定性与广义景观
代数拓扑
2025-12-10 v1 度量几何
摘要
来自度量几何的技术已成为现代数学数据科学的基本工具，为将数据集建模为有限度量空间提供了原则性的比较方法。该领域的两个核心工具是 Gromov-Hausdorff 距离和持续同调，二者均产生数据集之间等距不变的距离概念。然而，这些框架未考虑类别标签，而类别标签是许多真实数据集的固有特征，如带标签图像、预聚类数据和语义分割形状。在本文中，我们为带标签的度量空间引入了一个通用框架，并发展了适应此设置的 Gromov-Hausdorff 距离和持续同调的新概念。我们的主要结果表明，持续同调构造在我们新颖的 Gromov-Hausdorff 距离意义下是稳定的，推广了拓扑数据分析中的经典结果。为便于计算，我们还引入了带标签的持续景观版本，并证明景观映射是 Lipschitz 的。
引用
@article{arxiv.2512.08794,
title = {Persistent Homology for Labeled Datasets: Gromov-Hausdorff Stability and Generalized Landscapes},
author = {Yaoying Fu and Evgeniya Lagoda and Shiying Li and Tom Needham and Lander Ver Hoef and Morgan Weiler},
journal= {arXiv preprint arXiv:2512.08794},
year = {2025}
}