网络间的距离与同构：网络不变量的稳定性与收敛性
离散数学
2022-12-08 v3 度量几何
摘要
我们发展了网络上函数之间广义 Gromov-Hausdorff 距离的理论基础，该距离近期已被应用于拓扑数据分析与最优传输的各个子领域。这些网络的函数表示（或简称网络），在有限设定下特化为（可能非对称的）邻接矩阵及衍生表示（如距离矩阵或核矩阵）。然而，利用这些构造的现有文献无法从连续公式中受益，因为在此距离下有限网络的连续统极限尚不清楚。例如，虽然目前有限网络上已有许多持久同调方法，但尚不清楚这些方法在无限设定下是否能产生良定义的持续图。我们通过引入由有限网络取连续统极限产生的紧致网络集合，并发展采样结果表明该集合允许良定义的持续图，从而解决了这一情况。与度量空间相比，网络上广义 Gromov-Hausdorff 距离的同构类相当复杂，并且包含具有不同基数和不同拓扑的代表元。我们提供了紧致网络适当同构概念的精确刻画，以及在附加拓扑正则性假设下的更强刻画。面向数据应用，我们描述了一个用于开发定量稳定网络不变量的统一框架，提供了基本示例，并将持久同调方法稳定性的现有结果纳入这一扩展框架中。为了说明我们的理论结果，我们引入了一个具有有限可逆性的有向圆模型，并刻画了它们的 Dowker 持续图。
引用
@article{arxiv.1708.04727,
title = {Distances and Isomorphism between Networks: Stability and Convergence of Network Invariants},
author = {Samir Chowdhury and Facundo Mémoli},
journal= {arXiv preprint arXiv:1708.04727},
year = {2022}
}
备注
This work is a merger of arXiv:1708.04727, arXiv:1804.02820, and arXiv:1711.04211. It has now been published in the Journal of Applied and Computational Topology