环面上的随机游走与自相似集中的正规数

我们通过线性部分可交换的仿射扩张映射研究 $d$ 维环面上的随机游走。假设其平移部分满足一个无理条件，我们证明 Haar 测度是唯一的平稳测度。我们推得，若 $K \subset \mathbb{R}^d$ 是有限迭代函数系 $n\geq 2$ 个形如 $x \mapsto D^{-r_i} x + t_i \ (i=1, \ldots, n)$ 的映射的吸引子，其中 $D$ 是一个扩张的 $d\times d$ 整数矩阵且对所有映射相同，$r_{i} \in\mathbb{N}$，在平移部分 $t_i$ 的无理条件下，$K$ 中几乎每一点（关于任意 Bernoulli 测度）在映射 $x\mapsto Dx$（模 $\mathbb{Z}^{d}$ 乘法）下具有等分布轨道。在一维情形，该结论等价于以 $D$ 为基的正规性。因此例如，中间三分之一 Cantor 集的无理膨胀中几乎每一点对基 3 是正规的。