Aldous-Kendall随机度量的分形性质

在研究Aldous提出的尺度不变随机空间网络模型时，Kendall在$\mathbb{R}^d$上构造了一个随机度量$T$，其中点之间的距离由在由具有限速的泊松线过程生成的道路网络上旅行时的最优连接时间给出。在本文中，我们考察了该随机度量的一些分形性质。特别地，尽管几乎必然地度量空间$\left(\mathbb{R}^d,T\right)$同胚于通常的欧氏$\mathbb{R}^d$，我们证明其Hausdorff维数由$(\gamma-1)d/(\gamma-d)>d$给出，其中$\gamma>d$为该模型的一个参数；这证实了Kahn的一个猜想。我们还发现，配备Lebesgue测度的度量空间$\left(\mathbb{R}^d,T\right)$展现出多重分形性质，因为某些点周围存在异常大的球。