分形维数与随机几何复形的持续同调

我们证明了配备 Ahlfors 正则测度的度量空间的分形维数可以从随机样本的持续同调中恢复。我们的主要结果是，如果 $x_1,\ldots, x_n$ 是度量空间上 $d$-Ahlfors 正则测度的独立同分布样本，且 $E^0_\alpha\left(x_1,\ldots,x_n\right)$ 表示 $x_1,\ldots,x_n$ 上最小生成树的 $\alpha$-权：$$E_\alpha^0\left(x_1,\ldots,x_n\right)=\sum_{e\in T\left(x_1,\ldots,x_n\right)} |e|^\alpha\,$$，则存在常数 $0<C_1\leq C_2$ 使得 $$C_1\leq n^{-\frac{d-\alpha}{d}} E^0_\alpha\left(x_1,\ldots,x_n\right)\leq C_2\,$$ 在 $n\rightarrow \infty$ 时以高概率成立。特别地，$$\log\big(E^0_\alpha(x_1,\ldots,x_n)\big)/\log(n)\longrightarrow (d-\alpha)/d\,。$$ 这是 Steele（1988）从非奇异情形到分形情形的结果推广。我们的结果是最佳可能的，在如下意义下：存在 Ahlfors 正则测度，使得极限 $\lim_{n\rightarrow\infty} n^{-\frac{d-\alpha}{d}} E^0_\alpha\left(x_1,\ldots,x_n\right)$ 不以高概率存在。我们还证明了由高维持续同调定义的加权和的类似结果。