随机Čech复形的加权持续同调和

我们研究形如\begin{equation*} E_{\alpha}^i\left(x_1,\ldots,x_n\right)=\sum_{\left(b,d\right)\in \mathit{PH}_i\left(x_1,\ldots,x_n\right)} \left(d-b\right)^{\alpha} \end{equation*}的随机变量的渐近行为，其中$\left\{x_j\right\}_{j\in\mathbb{N}}$是可三角化度量空间上概率测度的独立同分布样本，$\textit{PH}_i\left(x_1,\ldots,x_n\right)$表示$\left\{x_1,\ldots,x_n\right\}$的Čech复形的$i$维约化持续同调。这些量是最小生成树$\alpha$加权和的高维推广；我们试图在此背景下证明Steele (1988)与Aldous和Steele (1992)定理的类似结论。作为我们主定理的特例，我们证明若$\left\{x_j\right\}_{j\in\mathbb{N}}$独立且均匀地分布于$m$维欧氏球面上，$\alpha<m$且$0\leq i <n$，则存在实数$\gamma$与$\Gamma$使得\begin{equation*} \gamma \leq \lim_{n\rightarrow\infty} n^{-\frac{m-\alpha}{m}} E_i^{\alpha}\left(x_1,\ldots,x_n\right) \leq \Gamma \end{equation*}依概率成立。更一般地，我们证明了关于从局部有界概率测度采样的点、以及支撑于尊重盒计数的分数维集合上的测度，其$E_\alpha^i$期望渐近性的结果，其中采样空间为$m$维欧氏单纯复形的双Lipschitz像。