随机平均场距离模型II中的弱无序

本文研究具有n个顶点的完全图 $K_n$，其中每条边独立同分布地赋予一个权重。我们关注顶点1与顶点n之间最小权重路径的权重 $W_n$ 和边数 $H_n$。文献(Ann. Appl. Probab. 22 (2012) 29-69)表明，当边权重服从与 $E^s$ 相同的分布（其中 $s>0$ 为参数，$E$ 服从均值为1的指数分布）时，$H_n$ 渐近正态，渐近均值为 $s\log n$，渐近方差为 $s^2\log n$。本文分析权重服从分布 $E^{-s}, s>0$ 的情形，此时 $H_n$ 的行为显著不同，因为 $H_n$ 是一个紧的随机变量序列。更精确地，我们利用Stein-Chen泊松逼近方法证明，对几乎所有 $s>0$，跳数 $H_n$ 依概率收敛于大于等于2的s+1的最近整数，并确定了重新中心化和缩放后的最小权重的极限分布。对于可数集 $\mathcal{S}=\{s_j\}_{j\geq2}$ 中的特殊s值，跳数 $H_n$ 以正概率取值j和j+1。