超临界最小平均权重圈

我们研究了随机平均场距离模型中最小平均权重圈的权重和长度，即在具有由独立指数随机变量加权边的 $n$ 个顶点的完全图中。Mathieu 和 Wilson 表明，最小平均权重圈表现出两种不同的行为之一，取决于其平均权重是小于还是大于 $1/(ne)$；并且这两种情景在 $n\to\infty$ 极限下均以正概率发生。如果平均权重 $< 1/(ne)$，则长度为常数阶。如果平均权重 $> 1/(ne)$，则其集中在略高于 $1/(n e)$ 处，且长度随 $n$ 发散。Mathieu--Wilson 的分析给出了次临界区域的详细特征，包括权重和长度的（非退化）极限分布，但留下了超临界行为未决。我们确定了超临界区域的渐近行为，表明以高概率，最小平均权重为 $(n e)^{-1}[1 + \pi^2/(2 \log^2 n) + O((\log n)^{-3})]$，且达到该最小值的圈的长度阶数为 $(\log n)^3$。