均值场平均渗流的标度窗口

对于规模为 $n$ 的完全图,为每条边赋予一个均值为 $n$ 的独立同分布指数变量。对 $\lambda>0$,考虑平均权重至多为 $\lambda$ 的最长路径的长度。Aldous(1998)曾证明:当 $\lambda<1/\mathrm{e}$ 时,长度量级为 $\log n$;当 $\lambda>1/\mathrm{e}$ 时,长度量级为 $n$。Aldous(2003)提出了关于在临界值 $1/\mathrm{e}$ 及其附近细致行为的问题。特别地,Aldous 询问是否存在标度指数 $\mu,\nu$,使得对于与 $1/\mathrm{e}$ 相差量级为 $n^{-\mu}$ 的 $\lambda$,平均权重至多为 $\lambda$ 的最长路径长度量级为 $n^\nu$。我们通过证明临界行为远为丰富来回答这一问题:对于在 $1/\mathrm{e}$ 附近、宽度为 $\alpha(\log n)^{-2}$(其中 $\alpha>0$ 为一小的绝对常数)的窗口内的 $\lambda$,最长路径长度量级为 $(\log n)^3$。此外,对于 $\lambda\geq 1/\mathrm{e}+\beta(\log n)^{-2}$(其中 $\beta$ 为一大的绝对常数),最长路径长度至少为 $n$ 的多项式量级。我们结果的一个有趣推论是,在 $1/\mathrm{e}+[\alpha(\log n)^{-2},\beta(\log n)^{-2}]$ 中存在第二个转变点。此外,我们还展示了从亚临界到临界区域的平滑过渡。我们的结果即使在启发式意义上也是前所未知的。