重路与轻路及哈密顿圈

给定图 $G$，记 $f(G,u_0,k)$ 为 $G$ 中从 $u_0$ 出发的长度为 $k$ 的路径数。在最大度数为 3、边权独立同分布且服从 $exp(1)$ 的图中，我们给出一个简单证明：在假设 $f(G,u_0,k)=\omega(1)$ 下，从 $u_0$ 出发的 $G$ 中长度为 $k$ 的最重路径的期望权值至少为 \begin{align*} (1-o(1))\left(k+\frac{\log_2\left(f(G,u_0,k)\right)}{2}\right), \end{align*} 而从 $u_0$ 出发的 $G$ 中长度为 $k$ 的最轻路径的期望权值至多为 \begin{align*} (1+o(1))\left(k-\frac{\log_2\left(f(G,u_0,k)\right)}{2}\right). \end{align*} 我们展示了该结果对随机三次图中的哈密顿路径与哈密顿圈的直接推论，其中我们表明通常也存在具有此类权值的路径与圈。最后，我们讨论了该结果与超临界 $G(n,p)$ 巨分支中最长圈问题之间的联系。