随机平均场模型中最小路径与树的渗流类标度指数

在平均场（或随机连边）模型中，有 $n$ 个点且点间距离为独立随机变量。对于 $0 < \ell < \infty$ 且在 $n \to \infty$ 极限下，令 $\delta(\ell) = 1/n \times$（平均步长 $\leq \ell$ 的路径中的最大步数）。函数 $\delta(\ell)$ 类似于渗流理论中的渗流函数：存在一个临界值 $\ell_* = e^{-1}$，在该值处 $\delta(\cdot)$ 变为非零，并且（推测）存在一个标度指数 $\beta$，即 $\delta(\ell) \asymp (\ell - \ell_*)^\beta$。最近发展的概率方法（在某种意义上是 Mezard-Parisi 空腔方法的重新表述）提供了一种简单但非严格的方法，通过求解概率分布的不动点方程来写出这些函数。数值求解给出了 $\beta = 3$ 的令人信服的证据。以树代替路径的平行研究给出标度指数 $\beta = 2$。这些新指数与在不同背景下（比较平均场 TSP 和 MST 的最优解与近最优解）发现的指数一致，并进一步支持了这些标度指数决定了随机点上优化问题的普适类的观点。