泊松着色中边界的分形性质

我们研究一种由Aldous与Preater各自独立引入的、通过泊松雨的最近邻着色进行随机划分的模型。给定 $[0,1]^d$ 中分别着红色与蓝色的两初始点,我们让独立的均匀随机点落入 $[0,1]^d$,每点到达时取迄今落下的最近点的颜色。我们证明着色区域在豪斯多夫意义下收敛于两个随机闭子集,其交集即边界,具有严格介于 $d-1$ 与 $d$ 之间的豪斯多夫维数,从而回答了Aldous提出的一个猜想。然而,边界的若干拓扑性质仍不明了。