Bedford-McMullen 地毯的中间维数及其在 Lipschitz 等价中的应用

中间维数是最近引入的，用于在 Hausdorff 维数与盒维数不同的分形上提供介于二者之间的维数谱。特别地，自仿射的 Bedford-McMullen 地毯是一个自然的研究对象，但迄今为止仅找到了其中间维数非常粗略的界。在本文中，我们针对整个谱 $\theta \in [0,1]$，用某个大偏差速率函数确定了任意 Bedford-McMullen 地毯 $\Lambda$ 的中间维数 $\dim_{\, \theta}\Lambda$ 的精确公式。中间维数存在且关于 $\theta$ 严格递增，并且函数 $\theta\mapsto \dim_{\, \theta}\Lambda$ 展现出以往任何例子都未出现的有趣特征，例如具有可数多个相变，在相变之间它是解析且严格凹的。我们通过证明具有非均匀竖直纤维的两个地毯具有相等的中间维数当且仅当这两个地毯上均匀 Bernoulli 测度的 Hausdorff 多重分形谱相等，从而出人意料地建立了与多重分形分析的联系。由于中间维数是双 Lipschitz 不变量，这表明这些多重分形谱的相等是此类两个地毯 Lipschitz 等价的必要条件。