inf(M \ L)=3

Lagrange 谱与 Markov 谱 $L$ 与 $M$ 描述了无理数与二元二次型的最佳 Diophantine 逼近常数。1880 年，A. Markov 证明了这些谱的初始部分一致：事实上，$L\cap (0,3) = M\cap (0,3)$ 是仅在 3 处聚集的显式二次无理数的离散集。本文证明上述陈述在 3 之后立即不再成立：特别地，对所有 $\varepsilon>0$，$L\cap (3,3+\varepsilon)\neq M\cap (3,3+\varepsilon)$，因此 $\inf(M\setminus L)=3$。事实上，我们作为推论推导出该结果，该推论来自 $(M\setminus L)\cap (3,3+\varepsilon)$ 的 Hausdorff 维数的下界估计，表明 $\liminf\limits_{\varepsilon\to 0} \frac{\dim_H((M\setminus L)\cap(3,3+\varepsilon))}{\dim_H(M\cap (3,3+\varepsilon))}\geq \frac{1}{2}$，且这些下界来自通过 Baker--Wüstholz 定理（关于代数数的对数的线性型）研究几乎仿射动力 Cantor 集的笛卡尔积的投影而获得。