Markov 数的双有理几何

已知复射影平面到仅带商奇点的曲面的所有退化均由 Markov 方程 $x^2+y^2+z^2=3xyz$ 的正整数解 $(a,b,c)$ 所控制。这些退化通过双有理几何中的有限个其他更简单的退化序列彼此相连。本文明确描述了这些双有理序列，并展示了它们如何在所有 Markov 解之间建立桥梁。对于给定的 Markov 三元组 $(a,b,c)$，双有理修改的次数取决于其在 Markov 树中到达 Fibonacci 分支所需跨越的分支数。我们证明其中每个分支恰好对应于由 $(a,b,c)$ 定义的特定循环商奇点的翻转泛族的 Mori 列。作为副产品，我们得到了每个 Markov 数的新数值/组合数据，以及与 Markov 猜想（Frobenius 唯一性猜想）的新联系，这些依赖于 Wahl 奇点的 Hirzebruch-Jung 连分数。