广义马尔可夫数的 SL(2,Z) 矩阵化

对于 $k\geq 0$，$k$ 广义马尔可夫数是指在某些正整数解中出现的整数，这些解满足 $k$ 广义马尔可夫方程 $x^2 + y^2 + z^2 + k(yz + zx + xy) = (3 + 3k)xyz$。本文讨论了广义马尔可夫数的组合结构。为深入研究此结构，我们使用两种矩阵族：$k$ 广义 Cohn 矩阵和 $k$ 马尔可夫-单调矩阵，这两类矩阵均属于 $SL(2, \mathbb{Z})$，其 $(1,2)$ 项为 $k$ 广义马尔可夫数。我们证明，这两种矩阵族能够恢复广义马尔可夫方程正整数解的树状结构，并给出 $k$ 广义马尔可夫数的几何解释和组合解释。作为应用，我们提供一种从一维动力学视角计算经典马尔可夫数的算法。此外，我们阐明了 $k$ 广义马尔可夫数与 toric 表面奇点通过连分数之间的关系。