连分数与 Markov 数上的序

Markov 数是出现在丢番图方程 $x^2+y^2+z^2=3xyz$(称为 Markov 方程)的解三元组中的整数。作为数论中的经典课题,这些数与组合数学、双曲几何、逼近理论和簇代数等数学的许多领域相关。存在一个从零到一之间的有理数到 Markov 数的自然映射。在本文中,我们证明了 Martin Aigner 的著作《Markov 定理与唯一性猜想百年》中看到的两个猜想,它们基于对应的有理数确定了 Markov 数子集上的一种序。证明依赖于 Markov 数与连分数多项式之间的关系,该关系起源于 Frobenius 1913 年的论文。