广义马尔可夫数及其矩阵化的簇代数解释

马尔可夫数，即出现在方程$x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz解中的正整数，可视为簇变量的特殊化。第二作者与Matsushita给出马尔可夫方程的广义形式：$x^2 + y^2 + z^2 + k_1yz + k_2xz + k_3xy = (3+k_1+k_2+k_3)xyz$，其解可视为广义簇代数中簇变量的特殊化。我们给出两个位于$SL(2,\mathbb{Z}[x_1^\pm,x_2^\pm,x_3^\pm])$中与这些簇结构相关的矩阵族。这两个矩阵公式与马尔可夫数背景下的先前矩阵（包括Cohn矩阵和第二作者给出的广义Cohn矩阵，以及Maruyama和Sato给出的矩阵，以及Kanatarc\i O\u{g}uz和Y\i{}ld\i{}r\i{}m给出的簇代数背景下的矩阵）相关。我们对这两个矩阵族进行分类，并展示一个显式的族。后者通过实现广义马尔可夫簇代数中的簇变量作为特定fence posets中order ideals权重生成函数来完成，其中这些fence posets与Christoffel word相关。一个有趣的观察是，这些函数类似于string模块的Caldero-Chapoton函数，我们论证的一个副产品是该类函数的新的类似skein的公式。