马尔可夫数的镜像变形

我们引入由$X^2 + Y^2 + Z^2 + (q+q^{-1})(XY+YZ+XZ) = 3(1 + q + q^{-1})XYZ$给出的变形平方马尔可夫方程。这些新方程的对称解具有显著的因式分解性质，使我们能够讨论它们的平方根。这些平方根给出马尔可夫数的自然$q$-变形，这在文献中尚未出现。我们称之为镜像马尔可夫数。我们证明了镜像马尔可夫数的特征描述，并发现一种突变规则——镜像突变——来生成它们。我们还证明了相应镜像突变在带三个轨道点的一次去孔球上的几何实现。我们的镜像变形导致斐波那契数和佩尔数分支的变形，我们给出精确公式。此外，变形平方马尔可夫方程可specialize为许多其他著名的广义马尔可夫方程。我们还获得从变形平方马尔可夫数的specialization得到的超马尔可夫数，这我们用来证明Musiker的猜想。