作为强极难逼近数的 Markoff 二次型根

对于实数 $x$，$\| x\| = \min \{|x-p|: p\in Z\}$ 是 $x$ 到最近整数的距离。如果两个实数 $\theta$、$\theta'$ 的和或差是整数，则称它们 $\pm$ 等价。设 $\theta$ 为无理数，并令 $$\phi(\theta) = \inf \{q \,\| q \theta\| : q \in N \}。$$ 我们将证明：若 $\phi(\theta)> 1/3$，则 $\theta$ $\pm$ 等价于 $f_m (x,1) = 0$ 的一个根，其中 $f_m$ 是 Markoff 型。反之，若 $\theta$ $\pm$ 等价于 $f_m(x,1)=0$ 的一个根，则 $$\phi(\theta) = m \| m\theta \| = \frac{2}{3+\sqrt{9-4m^{-2}}} > 1/3。$$