马尔可夫定理在丢番图逼近与二次型上的双曲几何
几何拓扑
2019-08-08 v2 数论
摘要
马尔可夫定理分类了关于有理逼近最糟糕的无理数，以及那些对整数参数的取值离零最远的不定二元二次型。本文的主要目的是利用双曲几何给出马尔可夫定理的一个新证明。主要要素是一个在双曲几何与代数/数论之间翻译的词典，以及从现代几何Teichmüller理论借用的一些非常基本的工具。模环面上的简单闭测地线以及理想三角剖分起着重要作用，如下问题亦是：一条穿过三角形的直线能离顶点多远？它能离该三角形生成的镶嵌的顶点多远？定二元二次型在最后一节简要讨论。
引用
@article{arxiv.1702.05061,
title = {The hyperbolic geometry of Markov's theorem on Diophantine approximation and quadratic forms},
author = {Boris Springborn},
journal= {arXiv preprint arXiv:1702.05061},
year = {2019}
}
备注
37 pages, 15 figures; v2: references added, minor changes in exposition, final version