实二次函域中以素数为分母的丢番图逼近

在上世纪三十年代，I. M. Vinogradov证明了不等式 $||p\alpha||\le p^{-1/5+\varepsilon}$ 有无穷多个素数解 $p$，其中 $||.||$ 表示到最近整数的距离。此后许多作者改进了这一结果。特别是，Vaughan（1978）利用他著名的von Mangoldt函数恒等式和傅里叶分析论证的精炼，将指数 $1/5$ 替换为 $1/4$。目前的纪录由Matomäki（2009）保持，她证明了不等式 $||p\alpha||\le p^{-1/3+\varepsilon}$ 的素数解无穷多。该指数 $1/3$ 被视为当前技术的极限。最近，在 \cite{BaMo} 中，作者建立了Matomäki结果对于函数域 $k=\mathbb{F}_q(T)$ 的虚二次扩张的类似物。在本文中，我们考虑 $k$ 的类数为1的实二次扩张的情形，为此我们证明了Vaughan上述结果（指数 $\theta=1/4$）的函域类似物。我们的方法使用了Vaughan恒等式的版本和函域的Dirichlet逼近定理。后者由Arijit Ganguly在我们之前关于虚二次情形的论文 \cite{BaMo} 的附录中建立。我们也简化了 \cite{BM} 中D. Mazumder和第一作者关于实二次数域同一问题的论证。