2-图 C*-代数的自同态与模理论

在本文中，我们开创性地研究了单顶点上 2-图 $\Fth$ 的图 C*-代数 $\O_{\theta}$ 的自同态与模理论。我们证明了 $\O_{\theta}$ 的幺元自同态与其具有 \textit{扭曲性质} 的酉对之间存在半群同构。我们刻画了自同态何时保持规范自同构的不动点代数 $\fF$ 及其典范极大交换自伴代数（masa）$\fD$。此外，还研究了自同态的其他一些性质。关于 $\O_{\theta}$ 的模理论，我们证明了由 $\O_{\theta}$ 的生成元生成的代数 *-代数，在由一个特定态 $\omega$ 诱导的内积下，是一个模 Hilbert 代数。因此，我们得出由 $\omega$ 的 GNS 表示生成的 von Neumann 代数 $\pi(\O_{\theta})"$ 是 III$_1$ 型 AFD 因子，前提是 $\frac{\ln m}{\ln n}\not\in\bQ$。这里 $m,n$ 分别是 $\Fth$ 中次数为 $(1,0)$ 和 $(0,1)$ 的生成元的数目。这项工作是 Davidson-Power-Yang 的 \cite{DPY1, DPY2} 以及 Davidson-Yang 的 \cite{DY} 的延续。