与 $\O_\theta$ 相关的 III 型 von Neumann 代数

设 $\Fth$ 为由 $m$ 条蓝边和 $n$ 条红边生成的 2-图，$\omega$ 为与其图 C*-代数 $\O_\theta$ 相关联的忠实态。本文在特定条件下刻画了由 $\omega$ 的 GNS 表示导出的 von Neumann 代数 $\pi_\omega(\O_\theta)''$ 的因子性。此外，当 $\pi_\omega(\O_\theta)''$ 为因子时，若 $\frac{\ln m}{\ln n}\in\bQ$，则其类型为 III$_{m^{-\frac{1}{b}}}$（或 III$_{n^{-\frac{1}{a}}}$），其中 $a,b\in\bN$ 满足 $\gcd(a,b)=1$ 且 $m^a=n^b$；若 $\frac{\ln m}{\ln n}\not\in\bQ$，则其类型为 III$_1$。在 $\theta$ 为恒等置换的情形下，我们的条件被证明是多余的。在得到主要结果的过程中，我们还获得了来自 $\omega$ 的模作用 $\sigma$ 的不动点代数 $\O_\theta^\sigma$ 的结构。这可能有助于证明我们额外条件的冗余性。