由无限维幂零群 $B_0^{\mathbb N}$ 的正则表示生成的 ${\rm III_1}$ 型因子

我们研究了由无限维幂零群 $B_0^{\mathbb N}$ 的酉表示生成的冯·诺依曼代数。与某些准不变测度相关的无限维群的正则表示和拟正则表示的不可约性条件由所谓的 Ismagilov 猜想给出（见 [1,2,9-11]）。在这种情况下，相应的冯·诺依曼代数是 ${\rm I}_\infty$ 型因子。当正则表示可约时，我们找到了使冯·诺依曼代数成为因子的关于测度的充分条件（见 [13,14]）。在本文中，我们确定了相应因子的类型。具体而言，我们证明了由无限维幂零群 $B_0^{\mathbb N}$ 的正则表示生成的冯·诺依曼代数是 ${\rm III}_1$ 型超有限因子。关于双向无限矩阵的幂零群 $B_0^{\mathbb Z}$ 的情形将在 [6] 中研究。