三维流形的基本群与算子代数

我们对基本群中除 1 外所有共轭类均为无限（即其 von Neumann 代数为 $II_1$ 型因子）的三维流形给出一个几何刻画：它们本质上就是具有无限基本群且其上不存在 Seifert 纤维化之三维流形。换一种更精确的说法：设 $M$ 为紧连通三维流形，$\Gamma$ 为其基本群，假定 $\Gamma$ 无限且除 1 外至少有一个有限共轭类。若 $M$ 可定向，则 $\Gamma$ 为某个 Seifert 流形的基本群；若 $M$ 不可定向，则 $\Gamma$ 为按 Heil 与 Whitten \cite{HeWh--94} 意义模 $\Bbb P$ 的某个 Seifert 流形的基本群。我们大量使用了关于三维流形的结果，既有经典结果（见于 Hempel、Jaco 与 Shalen 的著作），也有较新结果（Seifert 纤维空间猜想的解决）。