通过 Tomita 双模实现刚性 C$^*$-张量范畴

从一个具有单对象为简单的（小）刚性 C$^*$-张量范畴 $\mathscr{C}$ 出发，我们为其每个对象构造相关的冯·诺依曼代数。这些代数是因子，可以是半有限的（II$_1$ 或 II$_\infty$ 型，取决于范畴的谱是有限的还是无限的），也可以是 III$_\lambda$ 型，$\lambda\in (0,1]$。类型的选择由我们在构造中使用的某些双模上的 Tomita 结构（文中定义）的选择来调节。此外，若谱是无限的，我们通过给出一个完全忠实的酉张量函子 $F:\mathscr{C} \hookrightarrow End_0(\Phi)$（其中 $\Phi$ 是一个因子（II 或 III 型））将整个张量范畴直接实现为这些代数的自同态，且具有有限的 Jones 指数。该构造依赖于自由概率的方法（全 Fock 空间、融合自由积），不依赖于顺从性假设，并且可应用于具有不可数谱的范畴（从而它对 Yamagami 的一个猜想给出了另一种回答 \cite{Y3}）。即使在不可数生成的范畴情形下，我们也能改进前述等价，以在 $\sigma$-有限因子上作为自同态（III 型情形）和作为双模（II 型情形）获得实现。在平凡 Tomita 结构情形下，我们恢复了 \cite{PopaS} 和 \cite{AMD} 中得到的同一代数，即（可数生成的）自由群因子 $L(F_\infty)$（若给定范畴具有可数谱），而当谱是无限且不可数时我们得到具有不可数多个生成元的自由群因子。