融合范畴及其交换子的表示

双交换子范畴（bicommutant category）是冯·诺依曼代数的高阶范畴类比。我们研究作为酉融合范畴 $\mathcal{C}$ 的完全忠实表示 $\mathcal{C}\to\operatorname{Bim}(R)$ 的交换子 $\mathcal{C}'$ 而出现的双交换子范畴。利用 Izumi、Popa 和 Tomatsu 关于酉（多）融合范畴表示的存在性与唯一性的结果，我们证明：若 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{D}$ 是 Morita 等价的酉融合范畴，则其交换子范畴 $\mathcal{C}'$ 与 $\mathcal{D}'$ 作为双交换子范畴是等价的。特别地，它们作为张量范畴是等价的：$$\Big(\,\,\mathcal{C}\,\,\simeq_{\text{Morita}}\,\,\mathcal{D}\,\,\Big) \qquad\Longrightarrow\qquad \Big(\,\,\mathcal{C}'\,\,\simeq_{\text{tensor}}\,\,\mathcal{D}'\,\,\Big).$$ 这范畴化了如下著名结果：Morita 等价的有限维 $\rm C^*$-代数的交换子（在某些表示中）是同构的冯·诺依曼代数，只要表示“足够大”。我们还引入了双对合张量范畴的正性概念。对于dagger范畴，正性是一种性质（即为 $\rm C^*$-范畴的性质）。但对于双对合张量范畴，正性是额外的结构。我们证明酉融合范畴与 $\operatorname{Bim}(R)$ 具有 distinguished 正性结构，且完全忠实表示 $\mathcal{C}\to\operatorname{Bim}(R)$ 自动尊重这些正性结构。