III 型 Bernoulli 交叉积的固实性

我们通过证明以下结果推广了 Chifan 和 Ioana 的定理：对任意可能属于 III 型的顺从 von Neumann 代数 $A_0$、任意忠实正规态 $\varphi_0$ 和任意离散群 $\Gamma$，相关联的 Bernoulli 交叉积 von Neumann 代数 $M=(A_0,\varphi_0)^{\mathbin{\bar{\otimes}}\Gamma}\rtimes \Gamma$ 相对于 $\mathcal{L}(\Gamma)$ 是固实的。特别地，若 $\mathcal{L}(\Gamma)$ 是固实的则 $M$ 是固实的；若 $\Gamma$ 非顺从且 $A_0 \neq \mathbb{C}$ 则 $M$ 是完全素因子。这给出了许多固实或素 $\mathrm{III}$ 型因子的新例子。遵循 Chifan 和 Ioana，我们还得到了固实非顺从 $\mathrm{III}$ 型等价关系的首批例子。