阿贝尔群作用的 Borel 组合学

我们研究了 $n\geq 2$ 时 $\mathbb{Z}^n$ 的 Bernoulli 作用的自由部分及其关联 Schreier 图的 Borel 组合学。我们将空间构造为正交分解为具有各种附加性质的标记集。一般而言，对于允许弱正交分解的 Borel 图 $\Gamma$，我们在某些温和假设下证明 $\chi_B(\Gamma)\leq 2\chi(\Gamma)-1$。作为推论，我们推导出对于所有 $n\geq 2$，$F(2^{\mathbb{Z}^n})$ 的 Borel 色数为 $3$。弱正交分解也产生了 Borel 无层吐司结构（Borel unlayered toast structures）。我们还构造了具有强拓扑正则性的 $F(2^{\mathbb{Z}^2})$ 的正交分解，特别是所有原子均同胚于圆盘。这使得我们能够证明对于所有 $n\geq 2$，$F(2^{\mathbb{Z}^n})$ 存在 Borel 完美匹配，并且 $F(2^{\mathbb{Z}^2})$ 存在 Borel 衬里（lining）。