平面克雷莫纳群的 Borel 子群

众所周知，线性代数群的所有 Borel 子群都是共轭的。这一结果对仿射平面的自同构群 ${{\mathrm{Aut}}} (\mathbb A^2)$ 也成立 \cite{BerestEshmatovEshmatov2016}（另见 \cite{FurterPoloni2018}）。在本文中，我们描述了复克雷莫纳群 ${{\rm Bir}({\mathbb P}^2)}$ 的所有 Borel 子群直至共轭的情况，特别证明了它们未必共轭。更确切地说，我们证明 ${{\rm Bir}({\mathbb P}^2)}$ 容许任意秩 $r \in \{ 0,1,2 \}$ 的 Borel 子群，且所有秩 $r \in \{ 1,2 \}$ 的 Borel 子群都是共轭的。在秩 $0$ 时，秩 $0$ 的 Borel 子群的共轭类与亏格 $g \geq 1$ 的超椭圆曲线之间存在一一对应。因此，秩 $0$ 的 Borel 子群的共轭类有两个不变量：离散的不变量即亏格 $g$，以及连续的对应于亏格 $g$ 超椭圆曲线的粗模空间的不变量。后一空间的维数为 $2g-1$。