代数增长：Cremona 群的研究

我们着手研究代数增长问题，即代数变换及代数 variety 的自同构群。我们的主要结果涉及 $\mathbb{P}^2$ 的 Cremona 群，即二变量情形下的 birational 变换群。该群是所有度为 $d\geq 1$ 的 birational 变换的代数 variety $\text{Bir}(\mathbb{P}^2)_d$ 的并集。设 $N_d$ 为 $\text{Bir}(\mathbb{P}^2)_d$ 的不可约分支数。我们描述了当 $d$ 趋于正无穷时 $N_d$ 的渐近增长，证明存在两个正常数 $A$ 和 $B>0$，使得当 $d$ 足够大时，有不等式 $$A\sqrt{\ln(d)} \leq \ln \left(\ln \left(\sum_{e\leq d} N_e \right) \right) \leq B \sqrt{\ln(d)}$$ 这种增长类型似乎相当独特，表明计算 $\text{Bir}(\mathbb{P}^2)$ 的代数增长在一般情况下是一个具有挑战性的问题。