双有理平面映射的动力学。Arnold 复杂度差分方程

基于此类映射的代数几何性质，我们考虑一般双有理平面映射 $\Phi_n: CP^2 \to CP^2$、双有理映射（逆映射亦为有理映射）$F_n : C^2 \to C^2$ 的 $CP^2$ 像及其重要特征 Arnold 复杂度 $C_A(k)$，它与 $d(k)=\deg(\Phi_n^k)$（映射 $\Phi_n$ 的 $k$ 次迭代的度）成正比。该特征之所以具有额外的重要性，源于 Veselov 关于由双有理平面映射定义的离散时间可积动力系统中 $d(k)$ 增长的多项式有界性的猜想。我们得到了 $d(k)$ 的具有整数系数的自治线性差分方程。该方程完全由 $\sigma_1$ 个非负整数 $m_1,..., m_{\sigma_1}$ 定义，这些整数由关系式 $\Phi_n^{-m_i}(O_{\alpha_i})=O^{(-1)}_{\beta_i}, i\in(1,2,...,\sigma_1)$ 确定，其中 $\Phi_n^{-m_i}$ 是逆映射的 $m_i$ 次迭代，$O_{\alpha_i}, O^{(-1)}_{\beta_i}, \alpha_i, \beta_i \in (1,2,...,\sigma)$ 是正映射与逆映射的不定点，$\sigma_1\leq\sigma$ 且 $\sigma$ 是 $\Phi_n,\Phi_n^{-1}$ 的不定点数目。如果 $\sigma_1$ 等于零，则 $d(k)=n^k$；否则 $d(k)$ 的增长完全由与 $d(k)$ 差分方程相关的特征方程的根谱决定。Veselov 猜想对应于由模为一的值组成的根谱。作者不假设读者熟悉 $CP^2$ 中的代数几何 (AG)、动力系统理论 (DST) 或函数方程，因为文中给出了所用 AG 或 DST 概念的所有必需定义和定理。