双有理映射的 N\oe ther 分解

设 $\phi$ 为复射影平面的一个双有理映射。我们知道 $\phi$ 可以写成 $\mathbb{P}^2_\mathbb{C}$ 的自同构与标准二次双有理映射 $\sigma$ 的复合。这种写法不唯一，若 $\sigma$ 的数目 $\mathfrak{n}(\phi)$ 尽可能小，则该写法是最小的。我们证明，若 $\phi$ 的次数为 $d\geq 2$，则 $\big[\frac{\ln d}{\ln 2}\big]\leq\mathfrak{n}(\phi)\leq 2(2d-1)$。