Toral relatively hyperbolic groups 的自同构映射的 PolExp 增长

设 $G$ 为 toral relatively hyperbolic group, 并设 $\varphi\in\mathrm{Aut}(G)$。我们证明了在 $\varphi$ 的迭代作用下, 每个元素 $g\in G$ 的 conjugacy 长度 $||\varphi^n(g)||$ 的增长类似于 $n^d\lambda^n$ , 其中 $d\in\mathbb{N}$ 和 $\lambda\geq 1$ 为代数整数。对于给定的 $\varphi$ 而言, 当 $g$ 在 $G$ 中变化时, 仅有有限个 $d$ 和 $\lambda$ 的值会出现。同样的陈述也适用于 word 长度 $|\varphi^n(g)|$ 的增长。对于 $G$ 为 hyperbolic 的情况, 我们推广了多项式子群:我们证明对于给定的增长类型 $n^d\lambda^n$（除 $1$ 外的类型）, 存在一个 malnormal 的准凸子群族 $K_1,\dots,K_p$，使得 conjugacy 类 $[g]$ 的增长最多类似于 $n^d\lambda^n$ 当且仅当 $g$ 可约约入某个子群 $K_i$ 中。