自由群的自由扩张的相对双曲性

我们给出了自由乘自由群在保尖点结构下相对双曲的充要条件。即，若$\phi_1, \ldots , \phi_k$是一组具有公共不变\emph{子群系}的指数增长外自同构，使得该子群系补集内的任意共轭类在所有$\phi_i$迭代下均指数增长，则这样的子群系可用于构造一组外围子群，相对于这些外围子群，由$\phi_1, \ldots , \phi_k$的足够高次幂生成的自由群对$\mathbb F$的扩张将是双曲的。