多个升入 HNN 延伸的自由群的双曲性

Bestvina-Feighn-Handel 证明了对于有限个互为独立的弯曲自同态 $\phi_1, \cdots, \phi_r$（其中每个 $\phi_i$ 都是 $F_n$ 的弯曲自同态），所得到的延伸 $F_n \rtimes F_r$ 必为弯曲空间。本文将上述结论推广至更一般的情况：即 $\phi_1, \cdots, \phi_r$ 为 $F_n$ 的弯曲非满射内同态。此时，输出结果是与一个仅有一个顶点、$r$ 条边的图相关联的多个 HNN 延伸。所有边和顶点群均同构于 $F_n$。