关于量子群的 Borel 子代数

对于一个量子群，我们研究那些所有不可约表示均为一维的右余理想子代数。若一个右余理想子代数在此性质下极大，则称其为 Borel 子代数。除了量子群的正部和它的反射外，我们发现了新的不熟悉的 Borel 子代数，例如包含量子 Weyl 代数副本的子代数。给定 Borel 子代数，我们研究其诱导的（Verma-）模，并证明其中所有不可约有限维模均可作为其商模。我们给出了两个涉及相伴分次右余理想子代数的结构猜想，并在某些情形下予以证明。特别地，它们预言了所有三角 Borel 子代数的形状。作为例子，我们确定了 $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ 和 $U_q(\mathfrak{sl}_3)$ 的所有 Borel 子代数，并讨论了诱导模。