网格的 Borel 多色数

我们研究由 $\mathbb{Z}^d$ 的自由 Borel 作用产生的网格图的 Borel 多色着色。每种多色着色指的是每个单位 $d$ 维立方都看到所有可用颜色。在经典情况下，每个网格都存在 $2^d$ 多色着色，而在 Borel 框架中则不然。我们的主要结果表明，每个自由 $\mathbb{Z}^d$ 作用都存在 Borel $(2^d-1)$ 多色着色。该结果是尖锐的：任何生成元作用于诱导 ergodic 的作用不存在 Borel $2^d$ 多色着色。我们以开放方向收尾，探讨将理论扩展到立方瓦砾之外以及探讨 Borel 多色数对底层作用的依赖性。